Hans Dompeling – Flexibele omgang met bewijzen in de meetkunde

Hans Dompeling begon zijn loopbaan als docent wis- en natuurkunde aan het Christelijk Lyceum te Alkmaar. In 1971 vervolgde hij die aan het Murmelliusgymnasium, waar hij zich naast het lesgeven bezighield met het coördineren van de exacte vakken. Vanaf 1974 was hij 32 jaar lang conrector, in welke functie hij naast het lesgeven taken vervulde op het gebied van de toets- en examenregeling, introductie van computergebruik en coördinatie van de werkzaamheden van de TOA’s. Ook had hij veel bemoeienis met verbouwingsaangelegenheden.

Het conrectoraat verhinderde niet dat Hans veel aandacht kon besteden aan het wiskundeonderwijs, ook op landelijk gebied. Daarbij had hij van meet af aan belangstelling voor het gebruik van computers in de les, in de zeventiger jaren al, maar dan met programmeerbare rekenmachines. Tijdens de eeuwwisseling deden het onderwijsondersteunende pakketten als Studyworks en Kennisnet hun intree. In een interview dat het vaktijdschrift Euclides met Hans had in 2002, werd hem gevraagd of hij verwachtte dat dergelijke pakketten een belangrijke rol zouden kunnen spelen in het wiskundeonderwijs. Zijn antwoord daarop was: “Ja, en de digitalisering wordt bespoedigd als: a) Kennisnet zich succesvol ontwikkelt. (..) , maar in onze regio is er (letterlijk) een kink in de kabel, want we hebben geen snelle internetverbinding, b) Iedere leerling op z’n 12de een laptop krijgt met alles d’r op en d’r aan en d’r in (kosten 1000 gulden per leerling, grotendeels te bekostigen door forse besparingen op leermiddelengelden).” En zijn antwoord op de vraag naar verdere plannen: “Ik hoop binnen afzienbare tijd directietaken te kunnen afstoten en meer tijd te besteden aan het lesgeven in de bovenbouw. Zoveel mogelijk wil ik mijn leerlingen laten werken in een digitale leeromgeving. Ik blijf echter een ouderwetse schoolmeester die graag wil uitleggen en demonstreren. M’n lusten kan ik echter botvieren in het vervaardigen van digitale presentaties, waarvan er enkele vanaf onze Murmellius-website te downloaden zijn.”

Aan de hand van (1) een oppervlaktestelling, (2) de trisectricestelling van Morley en (3) rhombododekaëders vertelt Hans tijdens het lustrum over flexibele omgang met bewijzen in de meetkunde. Zijn kleindochter (klas 2 V.O.) vraagt zich altijd af: waarom, als je het sowieso snapt, moet je het dan nog bewijzen?

De trisectricestelling luidt: In elke driehoek snijdt elke trisectrice van een hoek de aanliggende trisectrice van een andere hoek; dat levert drie snijpunten op, die de hoekpunten zijn van een gelijkzijdige driehoek. Trisectrices van een hoek zijn hierbij de lijnen die de hoek in drie gelijke delen verdelen. Bovenstaande is geen voor de hand liggende eigenschap van trisectrices. Merkwaardig dat iemand, Frank Morley, hier pas in 1900 mee op de proppen kwam, terwijl een afdoende bewijs lang op zich liet wachten. Inmiddels zijn er talloze bewijzen geleverd; helaas zijn de meeste erg gecompliceerd.

Tijdens de les tovert Hans echter een bewijs tevoorschijn dat niet meer kennis vraagt dan die van een derdeklasser. De rhombododekaëder is een lichaam dat begrensd wordt door twaalf onderling congruente paralellogrammen. Een bouwplaat is eenvoudig te construeren. Met rhombododekaëders kun je de ruimte ‘dichtmetselen’. Ze passen keurig aan- en in elkaar, maar als je het probeert te tekenen, ga je eraan twijfelen of het allemaal wel past. De noodzaak om te bewijzen doemt op. Nog een merkwaardige eigenschap: tegenover de opening van een bijencel zit een drievlakskunt dat precies in een rhombododekaëder past.